فعالیت ریاضی دهم
۱) جدول مقابل را کامل کنید و $\text{t}_{\text{n}}$ را بیابید.
$$\text{در این مثال می‌توانیم تعداد مبتلایان جدید هر روز را به صورت دنباله‌ی زیر بنویسیم: } ۲, ۴, ۸, ۱۶, ۳۲, \dots, \dots$$
$$\text{این دنباله یک دنباله‌ی حسابی نیست؛ چرا که تفاضل جملات متوالی آن ثابت نیست، بلکه نسبت تقسیم هر دو جمله‌ی متوالی آن برابر عددی ثابت است: } \dots = \frac{۳۲}{۱۶} = \frac{۱۶}{۸} = \frac{۸}{۴} = \frac{۴}{۲} = ۲$$
$$\text{این‌گونه دنباله‌ها را دنباله‌های هندسی می‌نامیم. یعنی } \mathbf{\frac{\text{t}_{\text{n}}}{\text{t}_{\text{n}-۱}} = \text{r} } \text{ (عددی ثابت)}$$
| $\text{n}$: روز | $\text{t}_{\text{n}}$: تعداد افراد جدیدی که در روز $\text{n}$ ام مبتلا می‌شوند |
| :---: | :---: |
| ۱ | ۲ (امید و محسن) |
| ۲ | $۲ \times ۲ = ۲^{۲}$ |
| ۳ | $۴ \times ۲ = ۲^{۳}$ |
| ۴ | $۸ \times ۲ = $ |
| ۵ | $ $ |
| ۶ | $ $ |
| $ots$ | $ots$ |
| $\text{n}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = }$ |
۲) در روز دهم چند فرد جدید مبتلا می‌شوند؟
۳) در روز یازدهم چند شخص جدید به این بیماری مبتلا می‌شوند؟
۴) در روز چندم تعداد افراد جدیدی که به بیماری آنفلوآنزا مبتلا می‌شوند، برابر $۱۶۳۸۴$ نفر می‌شود؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۲۵ ریاضی دهم
سلام! این فعالیت معرفی‌کننده‌ی مفهوم **دنباله‌ی هندسی** است؛ دنباله‌ای که در آن، هر جمله با ضرب یک عدد ثابت به نام **قدر نسبت** ($\mathbf{r}$) از جمله‌ی قبلی به دست می‌آید. این دنباله‌ها اغلب برای مدل‌سازی رشد سریع (مثل گسترش بیماری) استفاده می‌شوند.
### ۱. تکمیل جدول و یافتن جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{t}_{\text{n}}}$)
در این دنباله، $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}} = ۲}$ و قدر نسبت $\mathbf{\text{r} = ۲}$ است.
| $\text{n}$: روز | $\text{t}_{\text{n}}$: تعداد افراد جدیدی که در روز $\text{n}$ ام مبتلا می‌شوند |
| :---: | :---: |
| ۱ | $۲ = ۲^{۱}$ |
| ۲ | $۲ \times ۲ = ۲^{۲}$ |
| ۳ | $۴ \times ۲ = ۲^{۳}$ |
| ۴ | $۸ \times ۲ = \mathbf{۱۶} = \mathbf{۲^{۴}}$ |
| ۵ | $\mathbf{۱۶ \times ۲} = \mathbf{۳۲} = \mathbf{۲^{۵}}$ |
| ۶ | $\mathbf{۳۲ \times ۲} = \mathbf{۶۴} = \mathbf{۲^{۶}}$ |
| $ots$ | $ots$ |
| $\text{n}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = ۲^{\text{n}}}$ |
**نتیجه‌ی بخش اول:** جمله‌ی عمومی این دنباله برابر است با $\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = ۲^{\text{n}}}$ (عدد ۲ به توان شماره‌ی روز).
---
### ۲. تعداد مبتلایان در روز دهم ($\mathbf{\text{t}_{\text{۱۰}}}$)
برای یافتن تعداد مبتلایان جدید در روز دهم، $\text{n}=۱۰$ را در فرمول $\text{t}_{\text{n}} = ۲^{\text{n}}$ جایگذاری می‌کنیم:
$$\text{t}_{\text{۱۰}} = ۲^{۱۰}$$
$$\mathbf{\text{t}_{\text{۱۰}} = ۱۰۲۴}$$
**پاسخ:** در روز دهم، **۱۰۲۴** نفر جدید مبتلا می‌شوند.
---
### ۳. تعداد مبتلایان در روز یازدهم ($\mathbf{\text{t}_{\text{۱۱}}}$)
$$\text{t}_{\text{۱۱}} = ۲^{۱۱}$$
$$\text{t}_{\text{۱۱}} = ۲^{۱۰} \times ۲ = ۱۰۲۴ \times ۲ = \mathbf{۲۰۴۸}$$
**پاسخ:** در روز یازدهم، **۲۰۴۸** نفر جدید مبتلا می‌شوند.
---
### ۴. روزی که تعداد مبتلایان ۱۶۳۸۴ نفر است ($athbf{\text{n}}$)
در این قسمت، مقدار $\text{t}_{\text{n}}$ را داریم و به دنبال $\text{n}$ هستیم:
$$\text{t}_{\text{n}} = ۱۶۳۸۴$$
$$۲^{\text{n}} = ۱۶۳۸۴$$
برای پیدا کردن $\text{n}$، باید ببینیم عدد ۱۶۳۸۴ چه توانی از ۲ است. اگر توان‌های ۲ را ادامه دهیم:
* $۲^{۱۰} = ۱۰۲۴$
* $۲^{۱۱} = ۲۰۴۸$
* $۲^{۱۲} = ۴۰۹۶$
* $۲^{۱۳} = ۸۱۹۲$
* $۲^{۱۴} = ۱۶۳۸۴$
$$\mathbf{\text{n} = ۱۴}$$
**پاسخ:** در روز **چهاردهم**، تعداد افراد جدیدی که مبتلا می‌شوند، برابر ۱۶۳۸۴ نفر است.
فعالیت ریاضی دهم
در حالت کلی در یک دنباله‌ی هندسی، اگر جمله‌ی اول $\text{t}_{\text{۱}}$ و قدر نسبت $\text{r}$ باشد، جملات آن به شکل زیر خواهند بود. جدول را تکمیل کنید.
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۲}}$ | $\text{t}_{\text{۳}}$ | $\text{t}_{\text{۴}}$ | $\text{t}_{\text{۵}}$ | $\dots$ | $\text{t}_{\text{n}}$ | $\dots$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۱}$ | $\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۲}$ | $\t$ | $\t$ | $\dots$ | $\t$ | $\dots$ |
[Image showing the sequence of multiplying by r]
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه ۲۵ ریاضی دهم
این فعالیت به شما کمک می‌کنه تا ساختار اصلی **جمله‌ی عمومی** یک **دنباله‌ی هندسی** رو کشف کنید. در دنباله‌ی هندسی، هر جمله با ضرب جمله‌ی قبلی در یک عدد ثابت به نام **قدر نسبت** ($\mathbf{r}$) به دست می‌آید.
### ۱. تکمیل جملات اولیه
* $\mathbf{\text{t}_{\text{۴}}}$: با ضرب $\text{t}_{\text{۳}}$ در $\text{r}$ به دست می‌آید، یا $\text{t}_{\text{۱}}$ را سه بار در $\text{r}$ ضرب می‌کنیم.
$$\text{t}_{\text{۴}} = (\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۲}) \times \text{r} = \mathbf{\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۳}}$$
* $\mathbf{\text{t}_{\text{۵}}}$: با ضرب $\text{t}_{\text{۴}}$ در $\text{r}$ به دست می‌آید، یا $\text{t}_{\text{۱}}$ را چهار بار در $\text{r}$ ضرب می‌کنیم.
$$\text{t}_{\text{۵}} = (\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۳}) \times \text{r} = \mathbf{\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۴}}$$
### ۲. کشف الگوی جمله‌ی عمومی ($\mathbf{\text{t}_{\text{n}}}$)
با مشاهده‌ی جملات تکمیل شده، متوجه می‌شویم که **توان $\mathbf{r}$ همواره یک واحد کمتر از شماره‌ی جمله ($\mathbf{\text{n}}$)** است:
* $\text{t}_{\text{۱}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۰} \implies ۰ = ۱-۱$
* $\text{t}_{\text{۲}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۱} \implies ۱ = ۲-۱$
* $\text{t}_{\text{۳}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۲} \implies ۲ = ۳-۱$
بنابراین، برای جمله‌ی $\text{n}$-ام، توان $\text{r}$ برابر با $\mathbf{\text{n}-۱}$ خواهد بود.
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{\text{n}-۱}}$$
### ۳. جدول تکمیل شده
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۲}}$ | $\text{t}_{\text{۳}}$ | $\text{t}_{\text{۴}}$ | $\text{t}_{\text{۵}}$ | $\dots$ | $\text{t}_{\text{n}}$ | $\dots$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۱}$ | $\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۲}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۳}}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{۴}}$ | $\dots$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}\text{r}^{\text{n}-۱}}$ | $\dots$ |
**نکته‌ی کلیدی:** این فرمول، **جمله‌ی عمومی دنباله‌ی هندسی** است و به شما اجازه می‌دهد تا هر جمله‌ای از دنباله را بدون نیاز به محاسبه‌ی جملات میانی پیدا کنید.
